值不等于全局真实比例x，而是x加上一个随机噪声。因此f(x)需要计算：一个个体的激活阈值θ小于等于其带噪声的局部观测值的概率。这是一个双重积分——先对θ在Beta分布上积分，再对观测噪声在正态分布上积分。在一般情况下没有解析解，但数值求解可以找到临界点c：当x c时系统进入正反馈加速，植入比例不可逆地上升。

c的具体数值取决于α、β和σ。韩世清当时没有条件做大规模实证估计。他用了一个在数学上方便处理的对称假设——Beta(1,1)即均匀分布，表示群体中各类阈值的人均匀存在；σ取中等水平。在这个假设下，数值求解得出：

c ≈ 0.1357

精确到小数点后四位，近似等于e/2——自然对数底数的一半。

他当时在这个约等号后面划了一道线，在页边写了一个“？”。

后来，当他在教育部开始着手赋分制设计时，他让社科院统计团队基于北、上、广、成四个城市的家长群体调研数据重新估计了参数。估计结果显示：α ≈ 2，β ≈ 4——分布偏向保守，说明大部分家长在没有看到足够多的成功案例之前倾向于不行动；σ ≈ 0.3——个体观测到的局部植入比例与全局真实比例之间的标准差约为百分之三十。将这套参数代入模型重新求解，临界阈值c的数值略高于0.1357，但仍然在e/2附近。

那天深夜，他在给政策委员会的内部备忘录里写下了一句话：“参数化条件下的临界阈值近似值c ≈ e/2。鉴于该值的推导基于有限样本的参数估计，在实际应用中应视为参考区间而非固定点。”但在公告草稿里，他保留了“参考自然对数底数e的二分之一”这个措辞。不是因为它精确，是因为它是这个政策的理论锚点——告诉懂行的人，这个数字不是拍脑袋拍的，它有数学模型支撑，即使那个模型的具体参数从未被公开。

韩世清从论文上抬起头，看着窗外。长安街上的车灯在远处汇成一条细流。他想起三十四岁的自己，在出租屋里推完那个建模后，在论文手稿最后一页底部写了一行脚注。这行脚注后来在正式投稿时被删掉了。

不是因为它是错的，是因为它不适合出现在一篇数学论文里。